BIOGRAFÍA
DE AUTOR
Mi nombre es Tatiana
Natali Gaona G. Nací en Lago Agrio en 1995 en la ciudad, en el seno de una
familia humilde. Mi madre Aracely Gualpa y mi padre Diomedes Gaona. A temprana
edad nos trasladamos a la ciudad de Quito en donde concluí mis estudios
primarios.
Actualmente mi familia
reside en la ciudad de Macas, en donde concluí Mis estudios secundarios en el
Colegio Salesiano Don Bosco.
Me encuentro
actualmente estudiando Ingeniería en Biotecnología en la Escuela Superior
Politécnica de Chimborazo.
CALCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL
Es común en todas las ramas de la
ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya que su uso facilita la
comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para
el cálculo de áreas, velocidades, resistencia y fuerzas distribuidas. La
Ingeniería civil como rama de la ingeniería, también usa con frecuencia el
cálculo, sin lugar a dudas para obtener un análisis estructural adecuado, que
se considera una subdiciplina dentro de la ingeniería civil. Este proyecto
pretende demostrar como esa disciplina usa los fundamentos del cálculo que
aprendimos durante el curso de Cálculo integral y diferencial de una variable,
además de su aplicación en el análisis de estructuras.
OBJETIVO: Reconocer
y comprobar la aplicación de los fundamentos básicos del cálculo diferencial e
integral dentro de la ingeniería ambiental.
MARCO TEÓRICO
Cálculo, rama de las matemáticas que se ocupa
del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores
máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y
volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre
que haya cantidades que varíen de forma continua.
Evolución histórica
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega.
Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos
formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal
(infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de
agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud
requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades
para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea
impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII,
Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los
infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para
encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos
modernos). Fermat e Isaac Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos
estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W.
Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce
como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de
su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su
publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo,
terminó por adoptarse la notación de Leibniz.
En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número
de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas
e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión
y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el
filósofo irlandés George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos
sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades
finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisión los
límites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las
integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los números reales. Por
ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las
funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el
siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales.
Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado
las aplicaciones del cálculo.
Cálculo diferencial
El cálculo diferencial estudia los incrementos en las
variables. Sean x e y dos variables
relacionadas por la ecuación y = f(x), en
donde la función f expresa la dependencia del valor de y con
los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo
e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el
tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de
un valor x0 a x0 + h, produce un
incremento k en la y que pasa de y0
= f(x0) a y0 + k = f(x0
+ h), por lo que k = f(x0
+ h) - f(x0). El cociente k/h representa
el incremento medio de la y cuando la x varía
de x0 a x0 + h. La gráfica de la
función y = f(x) es una curva en el
plano xy y k/h es la pendiente de la
recta AB entre los puntos A = (x0, y0)
y B = (x0 + h, y0 + k) en esta
curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así
es que k/h es la tangente del ángulo BAC.
Si h tiende hacia 0, para
un x0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio
instantáneo de la y en x0; geométricamente, B se
acerca a A a lo largo de la curva y = f(x),
y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT,
en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la
pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así,
se define la derivada f'(x0) de la función y = f(x)
en x0 como el límite que toma k/h cuando h tiende
hacia cero, lo que se escribe:
Este valor representa la magnitud de la variación
de y y la pendiente de la curva en A. Cuando,
por ejemplo, x es el tiempo e y es la
distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos,
negativos y nulos de f'(x0) indican que f(x)
crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada
de una función es a su vez otra función f'(x) de x, que
a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por
ejemplo, si y = f(x) = x2
(parábola), entonces
Por lo que k/h = 2x0 + h, que
tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente
de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0,
y la derivada de f(x) = x2 es f'(x)
= 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para
una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes
son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).
Para calcular la derivada de una función, hay que
tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy
pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda
función f tiene una derivada en todas las x0,
pues k/h puede no tener un límite cuando h 0;
por ejemplo, f(x) = |x| no tiene derivada en x0
= 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0
o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por
tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la
notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que
indican cambios infinitesimales en y y x) es en
realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas
cantidades tienden hacia cero.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si
una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su
derivada f' se puede obtener a partir de u, v y
sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada
de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u +v (lo
que significa que f(x) = u(x) + v(x)
para todas las x) entonces f' = u' + v'.
Una regla similar se aplica para la diferencia: (u - v)' = u'
- v'. Si una función se multiplica por una constante, su derivada
queda multiplicada por dicha constante, es decir, (cu)' = cu'
para cualquier constante c. Las reglas para productos y
cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f'
= uv' + u'v, y si f = u/v
entonces f'= (u'v-uv')/v2 siempre
que v(x) 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar
funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x2 y x5
son 2x y 5x4, por lo que la derivada de la función 3x2
- 4x5 es (3x2 - 4x5)' = (3x2)' - (4x5)' =
3·(x2)' - 4·(x5)' = 3·(2x) - 4·(5 x4) = 6x -
20x4. En general, la derivada de un polinomio cualquiera f(x)
= a0 + a1x +... + anxn es f'(x)
= a1 + 2a2x +... + nanxn-1; como
caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u(z)
y z = v(x), de manera que y es
una función de z y z es una función de x, entonces y = u(v(x)),
con lo que y es función de x, que se
escribe y = f(x) donde f es
la composición de u y v; la regla de la
cadena establece que dy/dx = (dy/dz)·(dz/dx), o
lo que es lo mismo, f'(x) = u'(v(x))·v'(x).
Por ejemplo, si y = ez en donde e =
2,718... Es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es
una constante cualquiera, entonces y =eax; según la
tabla, dy/dz = ez y dz/dx = a, por
lo que dy/dx = aeax.
Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando
las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material
radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la
teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se
reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con
una cierta constante negativa a. Para hallar y en
función de x, hay que encontrar una función y = f(x)
tal que dy/dx = ay para cualquier x. La
forma general de esta función es y = ceax en
donde c es una constante. Como e0 = 1, entonces y = c para x =
0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x =
0) de material en la muestra. Como a<0, se tiene que eax 0
cuando x crece, por lo que y 0, confirmando que la
muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída
exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una
constante positiva, se obtiene la misma solución, y = sea
x, pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece
rápidamente. Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b
y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en
comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la
población.
Cálculo integral
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de
la derivación, llamado integración. Dada una función f, se
busca otra función F tal que su derivada es F'
= f; F es la integral, primitiva o anti derivada
de f, lo que se escribe F(x) = f(x)dx o
simplemente F = f dx (esta notación se
explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar para la
integración: como la derivada de x2 es 2x, la integral
de 2x es x2. Si F es la integral
de f, la forma más general de la integral de f es F + c, en
donde c es una constante cualquiera llamada constante de
integración; esto es debido a que la derivada de una constante es 0 por lo que
(F + c)' = F' + c' = f +
0 = f. Por ejemplo, 2xdx = x2 + c.
Las reglas básicas de integración de funciones
compuestas son similares a las de la diferenciación. La integral de la suma (o
diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales, y lo mismo
ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la integral de x =
½·2x es ½x2, y de forma similar xm dx = xm+1/(m +
1) para cualquier m -1 (no se incluye el caso de m =
-1 para evitar la división por 0; el logaritmo neperiano ln|x| es la
integral de x-1 = 1/x para cualquier x 0).
La integración suele ser más difícil que la diferenciación, pero muchas de las
funciones más corrientes se pueden integrar utilizando éstas y otras reglas
(ver la tabla).
Una aplicación bien conocida de la integración es el
cálculo de áreas. Sea A el área de la región delimitada por la
curva de una función y = f(x) y por el
eje x, para a x b. Para
simplificar, se asume que f(x) 0 entre a y b. Para
cada x a, sea L(x) el área de
la región a la izquierda de la x, así es que hay que
hallar A = L(b). Primero se deriva L(x).
Si h es una pequeña variación en la x, la
región por debajo de la curva entre x y x + h es
aproximadamente un rectángulo de altura f(x) y anchura h (véase
figura 3); el correspondiente incremento k = L(x + h)
- L(x) es por tanto, aproximadamente, f(x)h, por
lo que k/h es, aproximadamente, f(x).
Cuando h 0 estas aproximaciones tienden hacia los valores
exactos, así es que k/h f(x) y por tanto L'(x)
= f(x), es decir, L es la integral de f. Si
se conoce una integral F de f entonces L = F + c para
cierta constante c. Se sabe que L(a) = 0
(pues el área a la izquierda de la x es cero si x = a),
con lo que c = -F(a) y por tanto L(x)
= F(x) - F(a) para todas las x a.El
área buscada, A = L(b) = F(b)
- F(a), se escribe.
Éste es el teorema fundamental del cálculo, que se
cumple siempre que f sea continua entre a y b, y
se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje x es
negativa, pues f(x) < 0. (Continuidad significa que f(x) f(x0)
si x x0, de manera que f es una curva
sin ninguna interrupción).
El área es una integral definida de f que
es un número, mientras que la integral indefinida f(x)dx es
una función F(x) (en realidad, una familia de
funciones F(x) + c). El símbolo (una S del
siglo XVII) representa la suma de las áreas f(x)dx de
un número infinito de rectángulos de altura f(x) y anchura
infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un
número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0.
La derivada dy/dx = f'(x) de
una función y = f(x) puede ser diferenciada
a su vez para obtener la segunda derivada, que se denota d2y/dx2, f''(x)
o D2f. Si por ejemplo x es el tiempo
e y es la distancia recorrida, entonces dy/dx es
la velocidad v, y d2y/dx2 = dv/dx es
el incremento en la velocidad, es decir, la aceleración. Según la segunda ley
del movimiento del Newton, un cuerpo de masa constante m bajo la
acción de una fuerza F adquiere una aceleración a tal
que F = ma. Por ejemplo, si el cuerpo está
bajo la influencia de un campo gravitatorio F = mg (donde g es
la magnitud del campo), y entonces ma = F = mg por
lo que a = g, y por tanto dv/dx = g. Al
integrar, se tiene que v = gx + c, en
donde c es una constante; sustituyendo x = 0
se ve que c es la velocidad inicial. Integrando dy/dx = v= gx + c, se
tiene que y = ½gx2 + cx + b en
donde b es otra constante; sustituyendo de nuevo x =
0 se tiene que b es el valor inicial de la y.
Las derivadas de orden superior f(n) (x)
= dny/dxn = Dnf de f(x)
se calculan diferenciando n veces sucesivamente. El teorema de
Taylor muestra que f(x) se puede aproximar como una serie de
potencias f(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ... + anxn + ..., donde los coeficientes a0,a1,
... son constantes tales que an = f(n)(0)/n!
(en donde 0!=1 y n!= 1 × 2 × 3 × ... × n para
cualquier n 1). Las funciones utilizadas más a menudo pueden
aproximarse por series de Taylor; por ejemplo si f(x)
= ex se tiene que f(n)(x) = ex para
cualquier n, y que f(n)(0) = e0
= 1 por lo que
Derivadas parciales
Las funciones con varias variables tienen también
derivadas. Sea z = f(x, y), es decir, z es
función de x e y. Si se mantiene y constante
temporalmente, z es una función de x, con lo
que al diferenciar se obtiene la derivada parcial z/x = f/x; de
la misma manera, si se toma la x como constante y se
diferencia con respecto de la y se obtiene z/y = f/y. Por
ejemplo, si z = x2 - xy + 3y2
se tiene que z/x= 2x - y y
que z/y = -x + 6y. Geométricamente,
una ecuación z = f(x, y) define una
superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son
horizontales y el eje z es vertical, entonces z/x y z/y
representan los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z)
en la dirección de los ejes x e y, respectivamente.
Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de
dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y
derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible
calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son
importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen
de diversas variables, como el espacio y el tiempo.
FORTALEZAS Y
DEBILIDADES EN MATEMÁTICAS
En base a mi desempeño estudiantil en
el área de las matemáticas no soy tan hábil, ya que creo que tengo más
debilidades que fortalezas
FORTALEZAS
·
Le entiendo claramente
lo que explican mis profesores.
·
Si logro concentrarme y
hago una investigación de algún problema que no me ha quedado claro logro
entenderlo y aprendo.
·
Me esfuerzo por
aprender.
DEBILIDADES
·
Le comprendo al docente
sus explicaciones, pero al momento de hacer ejercicios sola me cuesta trabajo
ya que los veos más complicados que los realizados en clase.
·
No puedo diferenciar
claramente las formulas que debo aplicar en el cálculo diferencial e integral.
·
Tengo muy escasos
conocimientos en algebra y matemática.
·
Me desconcentro fácilmente
ante cualquier interrupción.
